AMC10经典培训教材 - 数学 (10)

基础知识

1. 术语

素数(Prime number):素数是大于1的正整数，且只能被1和它本身整除。换句话说，素数是恰好有两个因数(1和它本身)的正整数。

最小的素数:2，它是一个偶数，也是唯一的偶素数。

定理1:存在无穷多个素数。

定理2:不存在最大的素数。

合数(Composite number):当一个数拥有超过两个因数时，该数称为合数。

互素(Relatively prime):如果两个正整数除了1以外没有其他公因数，则称这两个正整数互素，例如4和9互素。

2. 判定素数的方法

定理3(平方根法则):如果 \( a \) 不能被所有小于或等于 \( \sqrt{a} \) 的素数整除，则 \( a \) 是一个素数。

3. 性质1:一个素数 \( p \) 只能表示为 \( p \times 1 \) 。

换句话说，一个素数 \( p \) 只能被它本身和1整除，且没有余数。

如果 \( p \) 是一个素数且 \( p = {mn} \) ，我们有以下情况:

I: \( n = 1 \) 和 \( m \) 是素数

II: \( m = 1 \) 和 \( n \) 是素数

III: \( n = - 1 \) 和 \( m \) 为负值且 \( \left| m\right| \) 是素数。

IV: \( m = - 1 \) 和 \( n \) 为负值，且 \( \left| n\right| \) 为素数(prime)。

• 性质2:若两个素数(prime)之和为奇数，则这两个素数中必有一个为2。

5. 素数(prime)(不超过200)

从1到100共有25个素数(prime)。

从101到200共有21个质数。

问题解决能力

1. 素数基础

例1. 设 \( A, M \) 、 \( C \) 为互不相同的正整数，且乘积 \( A \times \) \( M \times C = {2016} \) 。求和 \( A + M + C \) 的最大可能值。

(A) 1011 (B) 508 (C) 1008 (D) 1100 (E) 48

答案:(A)。

将2016分解质因数得到 \( {2016} = {2}^{5} \cdot {3}^{2} \cdot 7 \) 。在所有乘积为2016的三个不同因数中，最大的和由最大的因数与两个最小的因数组合而成，即 \( A = 1, M = 2 \) 、 \( C = {2}^{4} \cdot {3}^{2} \cdot 7 \) \( = {1008} \) ，因此最大可能的和为 \( 1 + 2 + {1008} = {1011} \) 。

例2. 从10到25之间选取两个不同的质数。用它们的乘积减去它们的和，下列哪个数可能是所得结果？

(A) 33 (B) 270 (C) 287 (D) 288 (E) 615

答案:(C)。

在11到23之间有五个质数:11、13、17、19和23。因此，其中任意两个数的乘积为奇数，和为偶数。由于 \( {xy} - \left( {x + y}\right) = \left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) - 1 \) 随 \( x \) 或 \( y \) 的增大而增大(因为 \( x \) 和 \( y \) 均大于1)，答案必须是一个不小于 \( {11} \times {13} - \left( {{11} + {13}}\right) = {119} \) 且不大于 \( {19} \cdot {23} - \left( {{19} + {23}}\right) = {413} \) 的奇数。选项中唯一可能的是287，且确实 \( {287} = {17} \cdot {19} - \left( {{17} + {19}}\right) \) 。

例3.(2002年AMC 10 A)用数字1、2、3、4、5、6、7和9各一次，组成四个两位质数，求这四个质数之和。

(A) 150 (B) 160 (C) 170 (D) 180 (E) 190

解:(E)。

方法1(官方解法):

数字2、4、5、6不能作为任何两位质数的个位，因此这四个数字必须作为十位，而1、3、7、9作为个位。总和为 \( {10}\left( {2 + 4 + 5 + 6}\right) + \left( {1 + 3 + 7 + 9}\right) = {190} \) 。

(满足条件的一个集合是 \( \{ {23},{47},{59},{61}\} \) 。)

方法二(我们的解法):

表中列出了所有两位质数。

29、41、67、53 均满足条件，其和为 \( {29} + {41} + {67} + {53} = {190} \) 。

例4. 有多少种方法可以将37表示为两个或更多不同质数之和？

(A) 9 (B) 7 (C) 6 (D) 3 (E) 10

解答:(E)。

\[ \begin{aligned} {37}\; & = 3 + 5 + {29}\; & = 2 + 5 + 7 + {23}\; & = 3 + {11} + {23}\; & = 2 + 3 + {13} + {19} \end{aligned} \]

\[ = 5 + {13} + {19} = 7 + {11} + {19} \]

\[ \begin{aligned} & = 7 + {13} + {17} \\ & = 2 + 5 + {13} + {17} \\ & \; = 2 + 7 + {11} + {17} \end{aligned} \]

10种。

例5. 设 \( n \) 是恰好由3个不同质数 \( d, e \) 和 \( {10d} + e \) 相乘得到的最小整数，其中 \( d \) 和 \( e \) 为个位数。求 \( n \) 的各位数字之和。

(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21 (E) 24

解答:(A)。

最小的个位质数是2和3。取2、3和23，得 \( 2 \cdot 3 \cdot {23} = \) =138，其各位数字之和为12。

例6. 三个大于1的正整数，其乘积为343,000，且两两互质。求这三个整数之和。

(A) 700 (B) 777 (C) 468 (D) 476 (E) 496

解答:(D)。

注意到 \( {343},{000} = {2}^{3} \cdot {5}^{3} \cdot {7}^{3} \) 。乘积为343,000且两两互质的三个大于1的正整数只能是8、125和343。它们的和为476。

例7. 求1到100之间所有同时满足“比5的倍数大1”和“比6的倍数大1”的质数之和。

(A) 215 (B) 204 (C) 163 (D) 92 (E) 71

解答:(D)。

比5的倍数大1的数，其个位为6或1。个位为6的数不可能是质数，因此只需检查形如 \( {10d} + 1 \) 的数，其中 \( d \) 为0–9。这些数中，只有11、31、41、61和71比5的倍数大1。其中，只有31和61比6的倍数小1，它们的和为92。

例8. 若将2016写成两个正整数的乘积，且这两个正整数的差尽可能小，则差为

(A) 8 (B) 7 (C) 4 (D) 6 (E) 9

解答:(D)。

数2016的质因数分解为 \( {2}^{5} \cdot {3}^{2} \cdot 7 \) 。为了使两个因数之和最小，我们让这两个因数尽可能接近。 \( {2016} = {2}^{5} \cdot {3}^{2} \cdot 7 = {48} \cdot {42} \) 。答案为 \( {48} - {42} = 6 \) 。

例9. 两个质数之和为126。最小可能的乘积为 \( m \) ，最大可能的乘积为 \( n \) 。 \( m + n \) 是多少？

(A) 5722 (B) 5422 (C) 5746 (D) 5855 (E) 6106

解答:(B)。

当两个质数相距最远时，得到最小可能的乘积；当它们相距最近时，得到最大可能的乘积。因此 \( m = {13} \times {113} = {1469} \) ， \( n = {59} \times {67} = {3953} \) 。答案为 \( {1469} + {3953} = {5422} \) 。注意126可写成 \( {13} + {113.17} + {109},{19} + {107},{23} + {103},{29} + {97} \) 、37+89、43+83、47+79、53+73和59+67。

例10. 将25枚硬币分成三堆，每堆硬币数均为不同的质数。问这三堆中任意一堆最多可能有多少枚硬币？

(A) 13 (B) 15 (C) 11 (D) 17 (E) 19

解答:(D)。

\( {25} = 3 + 5 + {17} = 5 + 7 + {13} = 3 + {11} + {11} \) (不全不同) \( = 3 + 3 + {19} \) (不全不同) \( = 7 + 7 + {11} \) (不全不同)。最大数为17。

2. 质数与1

例11. (AMC) 满足联立方程的正整数三元组(a, b, c)的个数为

\[ {ab} + {bc} = {44}, \]

\[ {ac} + {bc} = {23}, \]

为

(E) 4

解答:(C)。

方法1(官方解法):

由第二个方程， \( c\left( {a + b}\right) = {23} \) 且23为质数，因此两个因数必为1和23。由于 \( a \) 和 \( b \) 为正整数， \( a + b > 1 \) 。于是必有 \( c = 1 \) 和 \( a + b = {23} \) 。将 \( c \) 替换为1， \( b \) 替换为 \( {23} - a \) 代入第一个方程，得到一个二次方程 \( {a}^{2} - {22a} + {21} = 0 \) ，其解为 \( a = 1 \) 和 \( a = {21} \) 。这两个解及其对应的 \( b\left( {{22}\text{and 2}}\right) \) 值均满足两个方程。因此解为(1,22,1)和(21,2,1)。

方法2(我们的解法):

由第二个方程得 \( c\left( {a + b}\right) = {23} \) 。因23为质数且 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，故 \( a + b \geq 2 \) 。于是 \( \mathrm{c} = 1 \) 和 \( a + b = {23} \) 。

由第一个方程， \( b\left( {a + 1}\right) = {44} = 1 \times {44} = 2 \times {22} = 4 \times {11} \) 。

我们有:

\( b = 1, a + 1 = {44}\; \Rightarrow \;a = {43}, b = 1. \)

\( b = 2, a + 1 = {22}\; \Rightarrow \;a = {21}, b = 2. \)

\( b = 4, a + 1 = {11}\; \Rightarrow \;a = {10}, b = 4. \)

\( b = {44}, a + 1 = 1\; \Rightarrow \; \) 无解。

\( b = {22}, a + 1 = 2\; \Rightarrow \;a = 1, b = {22}. \)

\( b = {11}, a + 1 = 4\; \Rightarrow \;a = 3, b = {11}. \)

注意 \( a + b = {23} \) 。解为(21,2,1)和(1,22,1)。

例12. 求一个正整数 \( x \) 的值，使得从它减去64后得到平方数，向它加上25后也得到平方数。

(A) 1400 (B) 1600 (C) 1980 (D) 2000 (E) 1125

解:D。

\[ \left. \begin{array}{l} x - {64} = {n}^{2} \\ x + {25} = {m}^{2} \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;{m}^{2} - {n}^{2} = {89} \Rightarrow \;\left( {m - n}\right) \left( {m + n}\right) = {89} \]

因89为质数且 \( m + n > m - n \) ，

\( \left. \begin{array}{l} m + n = {89} \\ m - n = 1 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;m = {45}, n = {44}. \)

\[ x = {45}^{2} - {25} = {2000} \]

例13:(1985 AIME #7)设 \( a, b, c \) 和 \( d \) 为正整数，满足 \( {a}^{5} = {b}^{4},{c}^{3} = {d}^{2} \) 且 \( c - a = {19} \) 。求 \( d - b \) 。

解:757。

因 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，设 \( {a}^{5} = {b}^{4} = {m}^{5 \times 4} = {m}^{20} \) ，得: \( a = {m}^{4} \) 和 \( b = {m}^{5} \) 。

设 \( {c}^{3} = {d}^{2} = {n}^{3 \times 2} = {n}^{6} \) ，得: \( c = {n}^{2} \) 和 \( d = {n}^{3} \) 。

因此， \( c - a = {19} \) 可以写成 \( {n}^{2} - {m}^{4} = {19} \) 或 \( \left( {n - {m}^{2}}\right) \left( {n + {m}^{2}}\right) = {19} \)

由于 19 是素数且 \( n + {m}^{2} > n - {m}^{2} \) ，我们有: \( n - {m}^{2} = 1 \) 和 \( n + {m}^{2} = {19} \) 。

解 \( m \) 和 \( n \) ，得到: \( m = 3 \) 和 \( n = {10} \) 。

因此， \( d = {n}^{3} = {10}^{3} = {1000} \) ，且 \( b = {m}^{5} = {3}^{5} = {243} \) 。所以 \( d - b = {1000} - {243} = \) 757。

例 14. 若 \( {a}^{5} = {b}^{4},{c}^{3} = {d}^{2} \) ，且 \( a - c = {65} \) ，其中 \( a, b, c \) 和 \( d \) 为正整数，求 \( b - d \) 。

解:179。

由于 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，设 \( {a}^{5} = {b}^{4} = {t}^{5 \times 4} = {t}^{20} \) ，得到: \( a = {t}^{4} \) 和

\( b = {t}^{5} \) .

设 \( {c}^{3} = {d}^{2} = {s}^{6}.\; \Rightarrow \;c = {s}^{2} \) 和 \( d = {s}^{3} \) 。

因此， \( a - c = {65} \) 可以写成 \( {t}^{4} - {s}^{2} = {65} \) 或 \( \left( {{t}^{2} - s}\right) \left( {{t}^{2} + s}\right) = {65} \)

由于 \( {t}^{2} - s < {t}^{2} + s \) ，我们有:

\( \left. \begin{array}{l} {t}^{2} - s = 1 \\ {t}^{2} + s = {65} \end{array}\right\} \; \) 无整数解。

\[ \left. \begin{array}{l} {t}^{2} - s = 5 \\ {t}^{2} + s = {13} \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;t = 3, s = 4. \]

\[ b - d = {t}^{5} - {s}^{3} = {3}^{5} - {4}^{3} = {243} - {64} = {179}. \]

例 15. 三个素数之积等于它们和的 5 倍，且该积能被 5 整除。求这三个素数之和除以 11 的余数。

(A) 9 (B) 7 (C) 6 (D) 3 (E) 1 解:D。

由于积能被 5 整除，这三个素数中必有一个是 5。设另外两个素数为 \( p \) 和 \( q \) ，我们有: \( {5pq} = 5\left( {p + q + 5}\right) \) \( \Rightarrow \;{pq} - p - q + 1 = 6.\; \Rightarrow \;\left( {p - 1}\right) \left( {q - 1}\right) = 6 = 2 \times 3 = 1 \times 6. \) 若 \( p - 1 = 2 \) 且 \( q - 1 = 3,\mathrm{q} = 4 \) 不是素数，则不可能。若 \( p - 1 = 1 \) 且 \( q - 1 = 6, p = 2 \) 且 \( q = 7 \) 。

这三个素数为 (2,5,7)。其和为 14，答案为 3。

3. 偶素数 2

例16. 两个质数之和为49，求这两个质数倒数之和。

(A) 47 (B) \( \frac{49}{94} \) (C) \( \frac{1}{47} \) (D) \( \frac{1}{2} \) (E) 47

解答:(B)。

设这两个质数为 \( x \) 和 \( y \) 且 \( x < y \) 。

由于 \( y + x = {49}, x \) 必为2，而 \( y = {47} \) 。

\( \frac{1}{47} + \frac{1}{2} = \frac{49}{94} \)

例15. 若 \( a + b + c = {66} \) 和 \( {ab} + {bc} + {ca} = {1071} \) ，其中 \( a, b \) 、 \( c \) 均为质数，求abc的值。

(A) 1071 (B) 943 (C) 1886 (D) 958 (E) 1005

解答:(C)。

由于三个质数之和为奇数，必有一个质数为2。设 \( a \leq b \leq c \) ，得 \( a = 2 \) 和 \( b + c = {64} \) 。 \( {ab} + {bc} + {ca} = {1071} \Rightarrow {2b} + {bc} + {2c} = {1071} \) 或 \( 2\left( {b + c}\right) + {bc} = {1071} \) 。 \( {bc} = {943} \) 。于是 \( {abc} = 2 \times {943} = {1886} \) 。例16. 有多少对质数 \( x \) 和 \( y \) 满足方程 \( {x}^{2} \) \( - 2{y}^{2} = 1 \) ？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

解答:(B)。

方法一:

由于 \( 2{y}^{2} \) 为偶数， \( {x}^{2} \) 必为奇数， \( x \) 亦为奇数。

给定方程可写为 \( {y}^{2} = \frac{{x}^{2} - 1}{2} = \frac{\left( {x - 1}\right) \left( {x + 1}\right) }{2} \) 。

已知 \( x + 1 \) 与 \( x - 1 \) 同奇偶且必为偶数，故 \( {y}^{2} \) 必为偶数， \( y \) 亦必为偶数。

唯一的偶质数是2，因此 \( y = 2 \) ，于是 \( x = 3 \) 。

方法二:

由 \( {x}^{2} = 2{y}^{2} + 1 \) 可知 \( {x}^{2} \) 为奇数， \( x \) 亦为奇数。

设 \( x = {2n} + 1 \) ，其中 \( n \) 为正整数。

原方程可写为 \( {\left( 2n + 1\right) }^{2} = 2{y}^{2} + 1 \) ，或 \( {y}^{2} = 2\left( {{n}^{2} + n}\right) \) 。

于是可知 \( y \) 为偶数。因 \( y \) 为素数，故 \( y = 2 \) 。

将 \( y = 2 \) 代入原方程，得 \( x = 3 \) 。

因此素数解为 \( x = 2, y = 3 \) 。

4. 二次方程的根

例17.(2002 AMC 10 A)二次方程 \( {x}^{2} - {63x} + k \) \( = 0 \) 的两根均为素数。问 \( k \) 的可能取值个数为多少？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 超过四个

解答:(B)。

方法一(官方解答):

设 \( p \) 与 \( q \) 为 \( {x}^{2} - {63x} + k = 0 \) 的两素根，则

\( {x}^{2} - {63x} + k = \left( {x - p}\right) \left( {x - q}\right) = {x}^{2} - \left( {p + q}\right) x + {pq} \) ，故 \( p + q = {63} \) 且 \( {pq} = k \) 。因63为奇数，两素数中必有一为2，另一为61。于是 \( k \) 恰有一个可能值，即 \( k = {pq} = 2 \cdot {61} = {122} \) 。

方法二(我们的解答):

设 \( {x}_{1} \) 与 \( {x}_{2} \) 为 \( {x}^{2} - {63x} + k = 0 \) 的两素根。

根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{-{63}}{1} = {63} \) (1)

且 \( {x}_{1} \times {x}_{2} = k \) (2)

由于 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 都是质数，而63为奇数，因此 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 中必有一个为2。

设 \( {x}_{1} \) 为2， \( 2 + {x}_{2} = {63}\; \Rightarrow \;{x}_{2} = {63} - 2 = {61} \) 。

由(2)得: \( 2 \times {61} = k\; \Rightarrow \;k = {122} \) 。

例18. 质数 \( p \) 和 \( q \) 是二次方程 \( {x}^{2} \) \( - {21x} + m = 0 \) 的两个根，求 \( \frac{p}{q} + \frac{q}{p} \) 的值？

(A) \( \frac{365}{37} \) (B) \( \frac{365}{38} \) (C) \( \frac{94}{9} \) (D) \( \frac{65}{7} \) (E) 10

解答:(B)。

根据韦达定理， \( p + q = {21} \) (1)

因此我们知道其中一个是2。设 \( p = 2 \) ，则 \( q = {21} - 2 = {19} \) 。

\( \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{2}{19} + \frac{19}{2} = \frac{365}{38}. \)

例19. 二次方程 \( p{x}^{2} - {qx} + {65} = 0 \) 的两个根均为质数，求 \( {1998}{p}^{2} + q \) 的值？

(A) 2015 (B) 1998 (C) 2017 (D) 1999 (E) 2016

解答:(E)。

设 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 为方程 \( p{x}^{2} - {qx} + {65} = 0 \) 的两个质数根。

根据韦达定理， \( {x}_{1}{x}_{2} = \frac{65}{p} = \frac{5 \cdot {13}}{p} \)

由于 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 都是质数， \( p \) 必为1，于是 \( {x}_{1} = 5 \) 且 \( {x}_{2} = {13} \) 。

根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {x}_{1} + {x}_{2} = \frac{q}{p} = q \)

\( {1998}{p}^{2} + q = {12} \times \left( {{1}^{12} + {18} = {2016}.}\right. \)

例20. 方程 \( 2{x}^{2} - {8nx} + {10x} - {n}^{2} + {35n} - {76} = 0 \) 的两个根

都是质数， \( x \) 的最大可能值是多少？

解答:57。

设 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 为这两个根。

根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{{10} - {8n}}{2} = {4n} - 5 \)

由于 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 都是质数，且 \( {4n} - 5 \) 为奇数，因此其中必有一个为2。

于是原方程可写为 \( 2 \times {2}^{2} - {8n} \times 2 - {10} \times 2 - {n}^{2} + {35n} - \)

\( {76} = 0 \) ，或 \( {n}^{2} - {19n} + {48} = 0\; \Rightarrow \;\left( {n - {16}}\right) \left( {n - 3}\right) = 0 \) 。

解得: \( n = {16} \) 或3。

当 \( n = {16} \) 时，原方程可写为

\( 2{x}^{2} - 8 \times {16x} + {10x} - {16}^{2} + {35} \times {16} - {76} = 0 \) 或 \( {x}^{2} - {59x} + {114} = 0. \)

解得 \( x = 2 \) 和57。

当 \( n = 3 \) 时，原方程可写为

\( 2{x}^{2} - 8 \times {3x} + {10x} - {3}^{2} + {35} \times 3 - {76} = 0 \) 或 \( {x}^{2} - {7x} + {10} = 0. \)

解得 \( x = 2 \) 和5。

\( x \) 的最大可能值为 57。

5. 素数的因式分解

例 21:(2002 AMC 12B)有多少个正整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 为素数？

(A)无(B)一个(C)两个(D)多于两个但有限(E)无限多个。

解答:(B)。

方法 1(官方解答):

若 \( n \geq 4 \) ，则 \( {n}^{2} - {3n} + 2 = \left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) \) 是两个大于 1 的整数的乘积，因此不是素数。对于 \( n = 1,2 \) 和 3，我们分别得到 \( \left( {1 - 1}\right) \left( {1 - 2}\right) = 0,\left( {2 - 1}\right) \left( {2 - 2}\right) = 0 \) 和 \( \left( {3 - 1}\right) \left( {3 - 2}\right) = 2 \) 。

因此， \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 为素数仅当 \( n = 3 \) 。

方法 2(我们的解法):

我们知道 \( {n}^{2} - {3n} + 2 = \left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) \) 是素数当且仅当

I: \( \left( {n - 1}\right) = 1 \) 且 (n - 2) 为素数

\( n - 1 = 1 \Rightarrow n = 2 \) 且 \( \left( {n - 2}\right) = 0 \) ，而这不是素数。

II: \( \left( {n - 2}\right) = 1 \) 且 (n - 1) 为素数

\( n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3 \) 且 \( \left( {n - 1}\right) = 2 \) ，而这是素数。

III: \( \left( {n - 1}\right) = - 1 \) 且 (n - 2) 为负值，且 \( \left| \left( {n - 2}\right) \right| \) 为素数。

\( n - 1 = - 1 \Rightarrow \;n = 0 \) 不是正整数，我们无需验证 \( n - 2 \) 。IV: \( \left( {n - 2}\right) = - 1 \) 且(n-1)为负值， \( \left| \left( {n - 1}\right) \right| \) 为素数。 \( n - 2 = - 1 \Rightarrow n = 1 \) 且 \( \left( {n - 1}\right) = 0 \) 非负。因此， \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 仅当 \( n = 3 \) 时为素数。例22. 有多少个整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {8n} + {15} \) 为素数？(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 解:C。因式分解: \( {n}^{2} - {8n} + {15} = \left( {n - 3}\right) \left( {n - 5}\right) \) 。当 \( \left( {n - 3}\right) = 1, n = 4.{n}^{2} - {8n} + {15} = - 1 \) (非素数)。当 \( \left( {n - 3}\right) = - 1, n = 2.{n}^{2} - {8n} + {15} = 3 \) (素数)。当 \( \left( {n - 5}\right) = 1, n = 6.{n}^{2} - {8n} + {15} = 3 \) (素数)。当 \( \left( {n - 5}\right) = - 1, n = 4.{n}^{2} - {8n} + {15} = - 1 \) (非素数)。例23. 求所有使 \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} \) 为素数的整数值 \( x \) 之和。

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 14 (E) 51

解:(A)。

我们知道 \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} = \left( {{4x} + {11}}\right) \left( {{2x} - 5}\right) \) 为素数当且仅当

I: \( \left( {{4x} + {11}}\right) = 1 \) 且(2x-5)为素数

\( {4x} + {11} = 1 \Rightarrow x \) 不是整数。

II: \( \left( {{2x} - 5}\right) = 1 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) \) 为素数

\( \left( {{2x} - 5}\right) = 1 \Rightarrow x = 3 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) = {23} \) 为素数。

III: \( \left( {{4x} + {11}}\right) = - 1 \) 且(2x-5)为负值， \( \left| \left( {{2x} - 5}\right) \right| \) 为素数。

\( \left( {{4x} + {11}}\right) = - 1 \Rightarrow \;x = - 3 \) 且 \( \left| \left( {{2x} - 5}\right) \right| = {11} \) 为素数。

IV: \( \left( {{2x} - 5}\right) = - 1 \) 和 \( \left( {{4x} + {11}}\right) \) 为负值， \( \left| \left( {{4x} + {11}}\right) \right| \) 为素数。 \( \left( {{2x} - 5}\right) = - 1 \Rightarrow \;x = 2 \) 和 \( \left( {{4x} + {11}}\right) = {19} \) 非负。因此， \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} \) 仅在 \( x = 3 \) 及 −3 时为素数。答案为 \( 3 - 3 = 0 \) 。

问题

问题1. 设 \( A, M \) 和 \( C \) 为正整数(可相同)，使得乘积 \( A \times M \times C = {2016} \) 。求和 \( A + \) \( M + C \) 的最小可能值。

(A) 38 (B) 39 (C) 40 (D) 41 (E) 42

问题2. 从30到60之间选取两个不同的素数。用它们的积减去它们的和，下列哪个数可能得到？

(A) 1057 (B) 2016 (C) 1839 (D) 2018 (E) 3155

问题3. 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9各一次，组成一个一位素数和四个两位素数。这五个素数之和是多少？

(A) 160 (B) 165 (C) 170 (D) 185 (E) 225

问题4. 有多少种方法将26表示为两个或更多不同素数之和？

问题5. 设 \( n \) 为恰好由3个不同素数 \( d, e \) 和 \( {10d} + e \) 的乘积构成的整数，其中 \( d \) 和 \( e \) 为个位数。 \( n \) 的各位数字之和的最大值是多少？

(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 21 (E) 24

问题6. 四个大于1的正整数，乘积为44,100，且两两互质。求这四个整数之和。

(A) 70 (B) 77 (C) 78 (D) 76 (E) 74

问题7. 求1到200之间所有同时满足“比4的倍数大1”且“比5的倍数小1”的素数之和。(A) 376 (B) 395 (C) 454 (D) 593 (E) 792

问题8. (1998 AMC) 若将1998写成两个正整数的乘积，且这两个整数的差尽可能小，则该差为

(A) 8 (B) 15 (C) 17 (D) 47 (E) 93

问题9. 若 \( n = {10} \times {20} \times {30} \times {40} \times {50} \times {60} \times {70} \times {80} \times {90} \times {100} \times {110} \times {120} \) \( \times {130} \times {140} \) ，则最小的、不是 \( n \) 因数的素数是多少？

(A) 23 (B) 19 (C) 17 (D) 13 (E) 11

问题10. 有多少个由三个素数组成的有序三元组，其成员之和为24？

(A) 6 (B) 15 (C) 12 (D) 3 (E) 5

问题11. 在 \( {xy} \) 平面内，求满足x截距与y截距均为正素数且通过点(4,3)的直线数量。(A)0(B)1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

问题12. 求一个正整数，使得该正整数与72的和为平方数，且该正整数与55的和也为平方数。

(A) 8 (B) 9 (C) 7 (D) 5 (E) 17

问题13. 若 \( {a}^{3} = {b}^{2},{c}^{2} = d \) 且 \( d - a = 5 \) ，其中 \( a \) 、 \( b, c \) 、 \( d \) 均为正整数，求 \( b - c \) 的值。

(A) 5 (B) 9 (C) 12 (D) 24 (E) 25

问题14. 两个素数 \( p \) 和 \( q \) 满足: \( p = m \) \( + n \) 且 \( q = {mn} \) ，其中 \( m \) 和 \( n \) 均为正整数。求 \( {p}^{q} + \) \( {q}^{p} \) 的值。

(A) 11 (B) 13 (C) 15 (D) 17 (E) 19

问题15. 三个素数的乘积等于这三个素数之和的11倍，求这三个素数。

问题16. 两个素数之和为39，它们的乘积是多少？(A) 37 (B) 74 (C) 121 (D) 169 (E) 40

问题17. 若 \( a + b + c = {68} \) 且 \( {ab} + {bc} + {ca} = {1121} \) ，其中 \( a, b \) 和 \( c \) 均为素数，求abc的值。

(A) 989 (B) 1978 (C) 1292 (D) 323 (E) 1003

问题18. 若 \( p \) 和 \( q \) 均为素数且 \( {3p} + {5q} = {31} \) ，求 \( \frac{p}{{3q} + 1} \) 的值。(A) \( \frac{1}{8} \) 或1 (B) \( \frac{1}{7} \) 或2 (C) \( \frac{1}{5} \) 或11 (D) \( \frac{1}{13} \) 或17 (E) 5

问题19。素数 \( p \) 和 \( q \) 是二次方程 \( {x}^{2} \) \( - {99x} + m = 0 \) 的两个根。 \( \frac{p}{q} + \frac{q}{p} \) 的值是多少？

(A) 9413 (B) \( \frac{9413}{194} \) (C) \( \frac{9413}{99} \) (D) \( \frac{9413}{97} \) (E) 97

问题20。二次方程 \( p{x}^{2} - {qx} + {1985} = 0 \) 的两个根都是素数。 \( {12}{p}^{2} + q \) 的值是多少？

(A) 404 (B) 1998 (C) 414 (D) 1996 (E) 2016

问题21。方程 \( \frac{1}{2}p{x}^{2} - \frac{1}{2}{qx} + {2017} = 0 \) 的两个根是素数

。 \( p \) 和 \( q \) 是正整数。 \( {2p} + q \) 的值是多少？

(A) 2017 (B) 2019 (C) 1977 (D) 1323 (E) 1003

问题22. 有多少个正整数 \( a \) 使得 \( {a}^{2} - {3a} + 2 \) 为素数？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

问题23. 有多少个正整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {4n} - {21} \) 为素数？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

问题24. 有多少个整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {4n} - {21} \) 为素数？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5

问题25. 有多少个正整数 \( a \) 使得 \( {a}^{4} - 3{a}^{2} + 9 \) 为素数？

(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 0

解答

问题1. 解答:(B)。

将2016分解为素因数得 \( {2016} = {2}^{5} \cdot {3}^{2} \cdot 7 \) 。乘积为2016且和最小的三个不同因数，应尽可能接近，即 \( A = {12}, M = {12} \) 和 \( C = {14} \) ，因此最小可能和为 \( {12} + {12} + {14} = {38} \) 。

问题2. 解答:(C)。

30到60之间有五个素数:31、37、41、43、47、53和59。因此任意两数之积为奇数，和为偶数。由于 \( {xy} - \left( {x + y}\right) = \left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) - 1 \) 随 \( x \) 或 \( y \) 增大而增大(因 \( x \) 和 \( y \) 均大于1)，答案必须是一个不小于 \( {31} \times {37} - \left( {{31} + {37}}\right) = {1079} \) 且不大于 \( {53} \cdot {59} - \left( {{53} + {59}}\right) = {3015} \) 的奇数。选项中唯一可能的是1839，且确实 \( {1839} = {41} \cdot {47} - \left( {{41} + {47}}\right) \) 。

问题3. 解答:(E)。

数字2、4、5、6不能作为任何两位素数的个位，因此这四个数字必须作为十位，而1、3、7、9作为个位。

小于100的素数见下表。

5,29,41,67,83可行，其和为 \( 5 + {29} + {41} + {67} + {83} = {225} \) 。

问题4。解答:6种方法。

可用的素数(prime numbers)为2、3、5、7、11、13、17、19和23。已知26为偶数，因此有以下情形。

情形1:奇数+奇数。

\[ {26} = 3 + {23} = 7 + {19}. \]

情形2:偶数+奇数+奇数。

\( {26} = 2 + 5 + {19} = 2 + 7 + {17} = 2 + {11} + {13} \)

情形3:奇数+奇数+奇数+奇数

\( {26} = 3 + 5 + 7 + {11} \)

6种方法。

问题5。解答:(D)。

小于100的素数(prime numbers)如表所示。

一位数质数有5和7，但75和57都不是质数。使用3、7和73得到 \( 3 \cdot 7 \cdot {73} = {1533} \) ，其各位数字之和为12。

一位数质数也可以是3和5，而53是质数。使用3、5和53得到 \( 3 \cdot 5 \cdot {53} = {795} \) ，其各位数字之和为21。

一位数质数也可以是3和7，而37是质数。使用3、7和37得到 \( 3 \cdot 7 \cdot {37} = {777} \) ，其各位数字之和为21。

一位数质数也可以是3和7，而73是质数。使用3、7和73得到 \( 3 \cdot 7 \cdot {73} = {1533} \) ，其各位数字之和为12。

一位数质数也可以是2和3，而23是质数。使用2、3和23得到 \( 2 \cdot 3 \cdot {23} = {138} \) ，其各位数字之和为12。答案是21。

问题6。解答:(C)。

注意 \( {44},{100} = {2}^{2} \cdot {5}^{2} \cdot {7}^{2} \) 。唯一三个两两互质且大于1、乘积为44100的正整数是4、25和49。这些数之和为78。

问题7。解答:(A)。

比5的倍数小1的数，其个位数字为4或9。

个位数字为4的数不可能是比4的倍数大1的数。

因此，只需考察形如 \( {10d} + 9 \) 和 \( {100e} + 9 \) 的数，其中 \( d \) 是十个数字之一， \( e \) 是百位数字之一。1到200之间的质数:

其中只有29、89、109和149比4的倍数大1，它们的和为376。

问题8。解答:(C)。

方法1(官方解答):

数1998的质因数分解为 \( 2 \cdot {3}^{3} \cdot {37} \) ，它有八对因子:

\( 1 \times {1998} = 2 \times {999} = 3 \times {666} = 6 \times {333} = 9 \times {222} = {18} \times {111} = {27} \times {74} = \)

\( {37} \times {54} = {1998} \) ，其中差值最小的是 \( {54} - {37} = {17} \) 。

方法2(我们的解答):

数1998的质因数分解为 \( 2 \cdot {3}^{3} \cdot {37} \) 。为了使两因子之和最小，我们让这两个因子尽可能接近。 \( {1998} = 2 \cdot {3}^{3} \cdot {37} = {54} \cdot {37} \) 。答案是 \( {54} - {37} = {17} \) 。

问题9。解答:(C)。

\( n = {10}^{15}\left( {1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 1 \times {11} \times {12} \times {13} \times {14}}\right) \)

\( = {2}^{a} \times {3}^{b} \times {5}^{c} \times {7}^{d} \times {11} \times {13} \)

因此，最小的不是 \( n \) 因子的质数是17。

问题10。解答:(B)。

由于和为偶数，其中必有一个2。其余两个质数之和为22。

由于 \( {22} = 3 + {19} = 5 + {17} = 7 + {15} \) (非质数) \( = {11} + {11} \) ，我们得到15个有序三元组:

6个三元组 \( \left( {2,3,{19}}\right) ,3 \) 三元组(2,11,11)，以及6个三元组(2,5,17)。

问题11。解答:(B)。

方法1:

截距为(a,0)和(0, b)的直线方程为: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) (1)

由于该直线经过 \( \left( {4,3}\right) ,\left( 1\right) \) ，可写作 \( \frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1 \) (2)

在方程(2)中解 \( b \) :

\[ b = \frac{3a}{a - 4} = 3 + \frac{12}{a - 4} \]

由于 \( b \) 为正整数， \( a - 4 \) 必须是12的因数。由于 \( a \) 为素数， \( a \) 只能取 \( a = 5 \) 和 \( a = 7 \) 。当 \( a = 5, b = {15} \) (非素数)；当 \( a = \) \( 7, b = 7 \) 。因此只有一条直线。方法二:

截距为(a,0)和(0, b)的直线方程为: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) (1)

由于该直线经过 \( \left( {4,3}\right) ,\left( 1\right) \) ，可写作 \( \frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1 \) (2)

(2)变为: \( {ab} - {3a} - {4b} = 0\; \Rightarrow \;\left( {a - 4}\right) \left( {b - 3}\right) = {12} \) 。

我们有

\( a - 4 = 1 \) 和 \( b - 3 = {12}\; \Rightarrow \;a = 5 \) 和 \( b = {15} \) 。

或 \( a - 4 = 2 \) 和 \( b - 3 = 6 \Rightarrow a = 6 \) 和 \( b = 9 \)

或 \( a - 4 = 3 \) 和 \( b - 3 = 4 \Rightarrow a = 7 \) 和 \( b = 7 \) 。

由于 \( a \) 和 \( b \) 均为素数，我们得到一条直线 \( \frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1 \) 或 \( x + y = 7 \) 。问题12。解答:(B)。

设 \( x \) 为正整数。

\[ x + {72} = {y}^{2} \tag{1} \]

\( x + {55} = {z}^{2} \) (2)

(2) \( - \left( 1\right) \) :

\( {z}^{2} - {y}^{2} = {17}\; \Rightarrow \;\left( {z - y}\right) \left( {z + y}\right) = {17} \)

由于 \( z - y < z + y \) ，我们有:

\[ \left. \begin{array}{l} z - y = 1 \\ z + y = {17} \end{array}\right\} \]

解得: \( z = 9, y = 8 \) ，以及 \( x = 9 \) 。

问题13。解答:A。

由于 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，设 \( {a}^{3} = {b}^{2} = {t}^{3 \times 2} = {t}^{6} \) ，我们得到: \( a = {t}^{2} \) 和

\( b = {t}^{3} \) .

因此， \( d - c = 5 \) 可以写成 \( {c}^{2} - {t}^{2} = 5 \) 或 \( \left( {c - t}\right) \left( {c + t}\right) = 5 \)

由于 5 是一个素数(prime number)且 \( c + t > c - t \) ，我们有:

\[ \left. \begin{array}{l} c + t = 5 \\ c - t = 1 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;c = 3, t = 2. \]

\[ b - c = {2}^{3} - 3 = 5\text{.} \]

问题 14。解答:D。

由于 \( q \) 是一个素数(prime number)且 \( q = {mn}, m \) 或 \( n \) 必须为 1。

设 \( m = 1 \) ，我们有 \( q = n \) 和 \( p = 1 + n = 1 + q \)

由于 \( p \) 和 \( q \) 都是素数(prime number)， \( q = 2 \) 和 \( p = 3 \) 。

\( {p}^{q} + {q}^{p} = {3}^{2} + {2}^{3} = {17} \)

问题 15。解答: \( \left( {3,7,{11}}\right) ,\left( {2,{11},{13}}\right) \) 。

设这三个素数(prime numbers)为 \( x, y \) 和 \( z \) 。那么我们有 \( {xyz} = {11}\left( {x + y + z}\right) \) 。

因此这三个素数中必有一个是 11。设 \( z = {11} \) 。

\[ {xyz} = {11}\left( {x + y + z}\right) \; \Rightarrow \;{11xy} = {11}\left( {x + y + {11}}\right) \Rightarrow \;{xy} = x + y + {11} \]

\[ \Rightarrow \;{xy} - x - y = {11} \Rightarrow \;\left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) = {12} = 1 \times {12} \times 2 \times 6 = 3 \times 4. \]

解得 \( x = 3, y = 7;x = 7, y = 3;x = 2, y = {13};x = {13}, y = 2 \) 。

解为 (3,7,11) 或 (2,11,13)。

问题 16。解答:(B)。

由于和为奇数，必有一个素数是 2；另一个则为 \( {39} - 2 = {37} \) 。其积为 \( 2 \times {37} = {74} \) 。

问题 17。解答:(B)。

由于三个素数之和为奇数，其中必有一个是 2。设 \( a \leq b \leq c \) ，得 \( a = 2 \) 与 \( b + c = {66} \) 。 \( {ab} + {bc} + {ca} = {1121} \Rightarrow {2b} + {bc} + {2c} = {1121} \) 或 \( 2\left( {b + c}\right) + {bc} = {1121} \) 。 \( {bc} = {989} \) 。abc \( = 2 \times {989} = {1978} \) 。